Số nghiệm của phương trình: \(sin2x+\sqrt{3}cos2x=\sqrt{3}\) trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)là bao nhiêu ?
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
\(4sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=m^2+\sqrt{3}.sin2x-cos2x\)
\(4sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=m^2+\sqrt[]{3}sin2x-cos2x\)
\(\Leftrightarrow4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left[sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}+x-\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}-x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2.\left[\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.sin2x-\dfrac{1}{2}.cos2x\right]\)
\(\Leftrightarrow2\left[sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2.2sin2x.cos\dfrac{\pi}{6}=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2.2sin2x.\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{3}sin2x.=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow sin2x.=\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
\(\left|\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\right|\le1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\ge-1\\\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\ge-2\left(1+\sqrt[]{3}\right)\left(luôn.đúng\right)\\m^2\le2\left(1-\sqrt[]{3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\le m\le\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\)
1, cho phương trình \(sin2x-\left(2m+\sqrt{2}\right)\left(sinx+cosx\right)+2m\sqrt{2}+1=0\) tìm các giá trị m để phương trình có đúng 2 nghiệm \(x\in\left(0;\dfrac{5\Pi}{4}\right)\)
2,tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(cos2x+\left(2m+1\right)sinx-m-1=0\) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left(\dfrac{\Pi}{2};\dfrac{3\Pi}{2}\right)\)
3, cho phương trình \(cos^2x-2mcosx+6m-9=0\) tìm các giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left(-\dfrac{\Pi}{2};\dfrac{\Pi}{2}\right)\)
Cho hàm số \(y=\sin2x+\cos2x+3.\) GTLN của hàm số trên\(\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]\) là số \(a+b\sqrt{2}.\) . Tính \(a+b\)
\(y=\sqrt{2}sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)+3\)
Do \(sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\le1\Rightarrow y\le3+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a=3;b=1\Rightarrow a+b=\)
Giải các pt sau
a, \(\dfrac{1}{sinx}+\dfrac{1}{cosx}=4sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
b, \(2sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+4sinx+1=0\)
c, \(cos2x+\sqrt{3}sinx+\sqrt{3}sin2x-cosx=2\)
d, \(4sin^2\dfrac{x}{2}-\sqrt{3}cos2x=1+cos^2\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [0;2022\(\pi\)] của phương trình \(\dfrac{3-cos2x+sin2x-5sinx-cosx}{2cosx+\sqrt{3}}=0\)
ĐKXĐ: \(cosx\ne-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\\x\ne\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(pt\Rightarrow3-\left(1-2sin^2x\right)+2sinx.cosx-5sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x-5sinx+2+cosx\left(2sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-2\right)+cosx\left(2sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx+cosx-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\\sinx+cosx=2\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Loại nghiệm
\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\)
\(0\le\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\le2022\pi\Rightarrow0\le k\le1010\)
\(\Rightarrow\sum x=1011.\dfrac{\pi}{6}+2\pi\left(0+1+2+...+1010\right)=\dfrac{1011\pi}{6}+2\pi.\dfrac{1010.1011}{2}=...\)
Câu 1: Tích các nghiệm trên khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right)\)của phương trình \(cos2x-3cosx+2=0\)
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(2cos^23x+\left(3-2m\right)cos3x+m-2=0\) có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\).
Câu 3: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình \(2sin^2\dfrac{x}{4}-3cos\dfrac{x}{4}=0\) trên đoạn \(\left[0;8\pi\right]\).
Câu 4: Giá trị của m để phương trình \(cos2x-\left(2m+1\right)sinx-m-1=0\) có nghiệm trên khoảng \(\left(0;\pi\right)\) là \(m\in[a;b)\) thì a+b là?
Câu 5: Điều kiện cần và đủ để phương trình \(msinx-3cosx=5\) có nghiệm là \(m\in(-\infty;a]\cup[b;+\infty)\) với \(a,b\in Z\). Tính a+b.
Câu 6: Điều kiện để phương trình \(msinx-3cosx=5\) có nghiệm là?
Câu 7: Số nghiệm để phương trình \(sin2x+\sqrt{3}cos2x=\sqrt{3}\) trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) là?
Câu 8: Tập giá trị của hàm số \(y=\dfrac{sinx+2cosx+1}{sinx+cosx+2}\) là?
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[-2018;2018\right]\) dể phương trình \(\left(m+1\right)sin^2-sin2x+cos2x=0\) có nghiệm?
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(sin2x-cos2x+|sinx+cosx|-\sqrt{2cos^2x+m}-m=0\) có nghiệm thực?
1.
\(cos2x-3cosx+2=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-3cosx+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(x=k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow\) không có nghiệm x thuộc đoạn
\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}{3};x_2=\dfrac{5\pi}{3}\)
\(\Rightarrow P=x_1.x_2=\dfrac{5\pi^2}{9}\)
2.
\(pt\Leftrightarrow\left(cos3x-m+2\right)\left(2cos3x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\cos3x=m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\)
Ta có: \(x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m-2=1\\m-2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(m=2\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\left(tm\right)\)
\(\Rightarrow m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH2: \(m=3\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)
\(\Rightarrow m=3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH3: \(m=1\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{3}\\x=-1\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy \(m=2;m=3\)
3.
\(2sin^2\dfrac{x}{4}-3cos\dfrac{x}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2\dfrac{x}{4}+3cos\dfrac{x}{4}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos\dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{2}\\cos\dfrac{x}{4}=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{4\pi}{3}+k8\pi\in\left[0;8\pi\right]\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4\pi}{3}\\x=\dfrac{20\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{20\pi}{3}=8\pi\)
1) nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(cot\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\) là
2) phương trình \(sin\left(\dfrac{2x}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\) có nghiệm là
3) họ nghiệm của phương trình \(cot\)(2x - 30 độ) = \(\sqrt{3}\) là
Tìm giá trị LỚN nhất của hàm số:
\(y=\sqrt{sin2x}+\sqrt{cos2x}\text{trên }\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{4}\right]\)
\(y^2=sin2x+cos2x+2\sqrt{sin2x.cos2x}\)
Đặt \(sin2x+cos2x=t\Rightarrow t\in\left[1;\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right]\)
\(sin2x.cos2x=\dfrac{t^2-1}{2}\)
\(y^2=f\left(t\right)=t+\sqrt{2\left(t^2-1\right)}\)
\(f'\left(t\right)=1+\dfrac{2t}{\sqrt{2\left(t^2-1\right)}}>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow y^2\le f\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\left(1+\sqrt[4]{3}\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow y\le\dfrac{1+\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\)
Phương trình \(sin\left(x^2-5x\right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)